Wir suchen nach weiteren Formeln.

In unserem Einstiegskapitel lagen die beiden Punkte, deren Abstand wir berechneten, immer senkrecht untereinander. Dies ist der einfachste und auch der am häufigsten vorkommende Fall. Welche Koordinaten haben dann eigentlich die beiden Punkte?

Und welche Koordinaten hat der zweite Punkt, wenn er nicht mehr senkrecht unter dem ersten liegt, sondern waagerecht oder schräg daneben?

Bei funktionalen Abhängigkeiten betrachtet man immer mehrere Punkte, die gemeinsam eine Strecke oder eine Fläche bilden. Dabei beginnt man mit einem freien Punkt, z.B. A_n, der meist auf einer Parabel oder einer Geraden liegt.

Alle anderen Punkte ergeben sich dann zwangsläufig, weil vorgegeben wird, wie sie in Bezug zu dem ersten Punkt liegen müssen.

Zum Beispiel senkrecht unter diesem aber auf einer anderen Geraden, oder waagerecht daneben und um zwei Einheiten weiter rechts, oder um einen bestimmten Vektor im Vergleich zum ersten Punkt verschoben.

Der erste Punkt besitzt immer den x-Wert x. Wann immer in der gesamten Aufgabe von x die Rede ist, meint man den x-Wert des ersten Punktes! Meistens heißt der erste, also der frei wählbare Punkt A_n, aber nicht immer.

A_n hat dann die Koordinaten: A_n(x | y)

y kann aber noch genauer angegeben werden, denn der Punkt A_n liegt ja nicht irgendwo im Koordinatensystem, sondern auf dem Graphen einer bestimmten Funktion.

Liegt der Punkt A_n beispielsweise auf der Parabel p: y = 2x² – x + 3, so trägt man deren y-Wert in die Koordinate ein:

A_n ϵ p: y = 2x² – x + 3    →    A_n(x | 2x² – x + 3)

Liegt A_n auf der Geraden g: y = -3x + 4, schreibt man seine Koordinaten folgendermaßen:

A_n ϵ g: y = -3x + 4        →    A_n(x | -3x + 4)

Liegt A_n auf einer Waagerechten mit y = 5:

A_n ϵ g: y = 5    →    A_n(x | 5)

Nun soll es darum gehen, die Koordinaten der anderen Punkte zu berechnen. Starten wir mit dem Fall, der uns bereits bekannt ist.

Die Punkte A_n liegen auf der Parabel p: y = x² + 2x – 1, die Punkte B_n liegen senkrecht darunter auf der Geraden g: y = 0,5x – 2

A_n (x | x² + 2x – 1)    B_n ???

Wir müssen uns nun überlegen, welchen x-Wert und welchen y-Wert die Punkte B_n besitzen.

x-Wert: Wenn sie senkrecht unter oder über A_n liegen, bedeutet dies, dass sie den gleichen x-Wert besitzen. Da wir den x-Wert von A_n aber einfach x nannten, schreiben wir auch für B_n einfach das x.  →  x_B = x

y-Wert: B_n liegt auf der Geraden, also ergibt sich aus x der y-Wert:       y_B = 0,5x – 2 

Ergebnis: B_n (x | 0,5x – 2)

A_n liege wieder auf p: y = x² + 2x – 1: 

A_n (x | x² + 2x – 1)   

Die Punkte B_n ergeben sich durch eine Verschiebung von A_n aus um den Vektor 

→ AnBn

=

(

4 -2

)

.

Wir suchen wieder die Koordinaten der Punkte B_n.

x-Wert: Durch den Vektor landet der Punkt B_n um 4 weiter rechts als A_n.  →  x_B = x + 4

y-Wert: Durch den Vektor landet der Punkt B_n um 2 weiter unten als A_n.  →  y_B = y_A – 2 

Nun ist der y-Wert von A_n aber nicht beliebig, sondern x² + 2x – 1. Deshalb wird der y-Wert von B_n: 

y_B = (x² + 2x – 1) – 2 = x² + 2x – 3 

Ergebnis: B_n (x + 4 | x² + 2x – 3)

A_n sei wieder: A_n (x | x² + 2x – 1)

B_n sei gegenüber A_n um 3 nach rechts verschoben und liege ebenfalls auf der Parabel p.

x-Wert: Zur Erinnerung: x ist der x-Wert des Punktes A_n. B_n ist um 3 nach rechts verschoben  →  x_B = x + 3

y-Wert: B_n liegt ebenfalls auf p. Also berechnet man sein y über y_B = x_B² + 2x_B – 1. Aber Achtung: Der x-Wert des Punktes x_B ist nicht einfach x, sonder x + 3. Deshalb setzen wir x + 3 für x_B ein:

y_B = (x + 3)² + 2(x + 3) – 1 
  = x² + 6x + 9 + 2x + 6 – 1 
  = x² + 8x + 14

Ergebnis: B_n (x + 3 | x² + 8x + 14)

A_n sei wieder: A_n (x | x² + 2x – 1)

B_n sei gegenüber A_n um 3 nach rechts verschoben und liege auf der Geraden g: y = 0,5x – 2.

x-Wert: x_B = x + 3

y-Wert: B_n liegt auf der Geraden. Also berechnet man sein y über y_B = 0,5x_B – 2. Für x_B setzen wir x + 3 ein:

y_B = 0,5·(x + 3) – 2 = 0,5x + 1,5 – 2 = 0,5x – 0,5

Ergebnis: B_n (x + 3 | 0,5x – 0,5)

Läge der Punkt B_n nicht auf einer anderen Geraden sondern auf einer anderen Parabel, zB. p₂: y = -x² + 3x – 1, so hätten wir das verschobene x_B, also x + 3, in diese Parabelgleichung einsetzen müssen:

y_B = -(x + 3)² + 3·(x + 3) – 1
  = -(x² + 6x + 9) + 3x + 9 – 1 
  = -x² – 3x – 1 

Ergebnis: B_n (x + 3 | -x² – 3x – 1)

A_n sei wieder: A_n (x | x² + 2x – 1)

B_n soll nun waagerecht daneben auf dem anderen Ast der Parabel liegen.

y-Wert: Der gleiche wie bei A_n:  →  y_B = x² + 2x – 1

x-Wert: Der x-Wert ergibt sich dadurch, dass B_n genauso weit von der Symmetrie-Achse, also vom Scheitelpunkt, entfernt ist wie der Punkt A_n, nur eben rechts davon liegt statt links.

Der Scheitelpunkt ist S(-1|-2). Wie weit ist A_n vom Scheitelpunkt entfernt? Der x-Wert -3 ist z.B. genau 2 von S entfernt. Der x-Wert -5 ist genau 4 davon entfernt.

Da man den waagerechten Abstand zweier Punkte dadurch erhält, dass man den rechten x-Wert (hier -1) minus den linken x-Wert (hier x) berechnet, ergibt sich für den waagerechten Abstand eines Punktes zum Scheitelpunkt: Abstand = -1 – x 

Der x-Wert des Punktes B_n ist genauso weit vom Scheitelpunkt entfernt, also ebenfalls -1 + x. Und wo liegt er? Genau in dieser Entfernung rechts vom Scheitelpunkt, also:

x_B = -1 + (-1 – x) = -x – 2

Ergebnis: B_n (-x – 2 | x² + 2x – 1)

A_n sei wieder: A_n (x | x² + 2x – 1)

B_n liege immer auf gleicher Höhe waagerecht daneben, aber auf der Geraden y = 0,5x – 2.

y-Wert: gleiche Höhe, also berechnet sich der y-Wert von B_n einfach aus dem y-Wert von A_n:  →  y_B = x² + 2x – 1!!

x-Wert: Der x-Wert ergibt sich, wenn man fordert, dass bei der Geraden der gleiche y-Wert heraus kommt wie bei der Parabel:

x2 + 2x – 1	=  0,5xB – 2	| + 2
x2 + 2x + 1	=  0,5xB	| : 0,5
2x2 + 4x + 2	=  xB

Ergebnis:  B_n (2x² + 4x + 2 | x² + 2x – 1)

Entwarnung: Kommt sehr selten vor. :O)