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Lektion
Das Einsetzungsverfahren

Worum geht es?

Verfahren Nummer 2: Das Einsetzungsverfahren. Vielleicht die intuitivste, die "normalste" Methode, mit zwei Variablen umzugehen.

Man rechnet aus einer Gleichung zunächst die erste Variable aus. Das Ergebnis ist noch keine Zahl, sondern eine Formel. Dann setzt man diese in die zweite Gleichung ein und bekommt die zweite Variable heraus – als richtige Zahl.

Naja, klingt noch ein wenig theoretisch. Du wirst gleich sehen, dass es nicht schwer ist. Ob du in Zukunft diese Methode anwendest oder eine der beiden anderen, hängt davon ab, mit welcher du am wenigsten Arbeit hast.

In dieser Lektion lernst du:

1.	Wie das Einsetzungsverfahren funktioniert.

2.	Welche Vor- und Nachteile es hat.

So funktioniert es:

Aus einer Gleichung kann man ja immer nur eine Variable berechnen. Hat man zwei Gleichungen mit zwei Variablen, muss man diese irgendwie kombinieren, um eine Variable rauszuwerfen.

Im Einsetzungsverfahren gelingt dies, indem man aus einer der Gleichungen eine Variable "abstrakt", als Formel, ausrechnet und in die zweite Gleichung einsetzt.

(Zur besseren Kennzeichnung sind im Folgenden die beiden Gleichungen oft mit I und II durchnumeriert.)

Einsetzungsverfahren

Aus einer Gleichung eine Variable "abstrakt" ausrechnen und in die andere Gleichung einsetzen.

Merke:

	Bei allen Verfahren geht es darum, eine Variable verschwinden zu lassen!

Es muss nicht
immer y sein. Rechne irgendetwas aus, was du in die andere Gleichung einsetzen kannst.

Beispiel 1:

Löse das Gleichungssystem:

I:  y – 3 = 2x
II: ˄ 3x + y = 18

Aus Gleichung I lässt sich die Variable y berechnen.

I: y – 3 = 2x  | + 3
  y = 2x + 3 **

Natürlich erhalten wir für y keine richtige Zahl, da sie noch die zweite Variable x enthält. Aber egal: Dieses Formel-Ergebnis für y können wir nun in die zweite Gleichung einsetzen.

II: 3x + y = 18   | 2x + 3 für y einsetzen
3x + (2x + 3) = 18

Durch das Einsetzen erhalten wir eine Gleichung, die nur noch x enthält. Also kann x nun fertig ausgerechnet werden.

3x + (2x + 3) = 18
5x + 3 = 18  | – 3
5x = 15  | : 5
x = 3

x ist erledigt! Nun noch y. Oben haben wir bereits die erste Gleichung nach y umgeformt.

in **: y = 2x + 3 = 2·3 + 3 = 9 → L = {(3|9)}

Beispiel 2:

Löse das Gleichungssystem:

I: 4 – 2y = 3x
II: ˄ -2x + 3y = 19

Lösung:

I: 4 – 2y = 3x  | – 4
  -2y = 3x – 4  | : (-2)
  y = -1,5x + 2 **

in II: -2x + 3y = 19
  -2x + 3·(-1,5x + 2) = 19
  -2x – 4,5x + 6 = 19  | – 6
  -6,5x = 13  | : (-6,5)
  x = -2

in **: y = -1,5x + 2 = -1,5·(-2) + 2 = 5 → L = {(-2|5)}

Beispiel 3:

Löse das Gleichungssystem:

I: 3x – y = -6
II: ˄ 7 + 3x = 2y – 2

Man muss nicht immer y zuerst ausrechnen. Hier kann man wunderbar die 3x aus der ersten Gleichung in die zweite einsetzen.

I: 3x – y = -6  | + y
  3x = y – 6 **

in II: 7 + 3x = 2y – 2
  7 + (y – 6) = 2y – 2
  1 + y = 2y – 2  | – y
  1 = y – 2  | + 2
  3 = y

in **: 3x = y – 6 = 3 – 6 = -3  | : 3
  x = -1 → L = {(-1|3)}

Hintergrund, Vor- und Nachteile

Wie man am letzten Beispiel sieht, muss man nicht immer y zuerst ausrechnen. Oft ist x günstiger. Oder 3x oder etwas anderes, Hauptsache, man hat etwas, was man in die andere Gleichung einsetzen kann.

Das Wichtigste passiert dann beim Einsetzen: Eine Variable fällt weg! Bei allen Verfahren geht es immer um das Gleiche: Finde einen Weg, eine Variable verschwinden zu lassen. Denn dann hast du nur noch eine und die kannst du dann wunderbar ausrechnen.

Das Einsetzungsverfahren bietet sich vor allem dann an, wenn eine Gleichung schon von vornerein nach einer Variablen aufgelöst ist:

y = .... oder x = ....

Vorteil des Einsetzungsverfahrens ist, dass es sehr naheliegend, sehr logisch ist. Viele Schüler erinnern sich später am ehesten an dieses Verfahren.

Ein Nachteil kann eventuell darin bestehen, dass es etwas länger dauern kann, bis die erste Variable berechnet ist. Gerade beim Einsetzen kann ein etwas unangenehmer Klammerterm entstehen, wie man an Beispiel 2 oben sieht.

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