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   Rechnen mit Wurzeln   
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Worum geht es?
Was ist eigentlich √172 ?  Was ist (√17)2 ?

Ist 
√
16
9
 = 
4
3
 ?

Und ist √20 + 5 das Gleiche wie √20 + √5?
 


Beim Rechnen mit normalen Zahlen tauchen solche Fragen nur gelegentlich auf. Möchte man aber Terme vereinfachen (Formeln), in denen Wurzeln vorkommen, muss man unbedingt wissen, wie man mit ihnen rechnen kann. Was man vereinfachen darf, und was auf keinen Fall.
 
In dieser Lektion lernst du:
1.Wurzeln und Quadrate zu verrechnen.
2.Die Produkt- und die Quotientenregel.
3.Dass es keine Summenregel gibt.
4.Wie man teilweise radiziert.
  
Wurzel und Quadrat
Das Wurzelziehen ist das Gegenteil vom Quadrieren, also heben sich die beiden Operationen gegenseitig auf.

√x2 = x !    und    (√x)2 = x !

Leicht zu merken!
 

Wurzel und Quadrat

√x2 = x ! 
Produkt- und Quotientenregel
Wie zieht man bei einem Bruch die Wurzel?

Ist 
√
16
9
 = 
4
3
 ?

Ja, ist es! Bei einem Quotienten oder einem Bruch darf man die Wurzel einzeln aus Zähler und Nenner ziehen:

√
a
b
 = 
√a
√b


Oft geht man diesen Weg in umgekehrter Richtung und zieht zwei getrennte Wurzeln im Bruch unter eine gemeinsame Wurzel. Vor allem dann, wenn sich dabei Quadratzahlen unter der Wurzel ergeben:

√50
√10
 = 
√
50
10
 = √5

√90
√10
 = 
√
90
10
 = √9 = 3
 


  
Merke:
Quotientenregel:
√
a
b
 = 
√a
√b








  
Merke:
Produktregel:
√a · b = √a · √b
Was für Geteilt gilt, gilt natürlich auch für Mal:

Bei einem Produkt darf man aus einer Wurzel zwei machen, oder aus zweien eine.

√a · √b = √a · b  ;  √a · b = √a · √b

Auch hier ist der Sinn der Aktion, dass der Term etwas einfacher wird, insbesondere, wenn durch die Umrechnung die Wurzel sogar wegfällt.

√3 · √5 = √3 · 5 = √15
√8 · √2 = √8 · 2 = √16 = 4
√x · √x3 = √x4 = x2

Umgekehrt kann man Wurzeln berechnen, die man vielleicht nicht auswendig weiß:


√400 = √4 · 100 = √4 · √100 = 2 · 10 = 20
√225 = √25 · 9 = √25 · √9 = 5 · 3 = 15
√x2y4 = √x2 · √y4 = xy2
 
Teilweises Radizieren (Wurzelziehen)
Einen etwas komplizierteren Term unter einer Wurzel zerlegt man auch dann gerne, wenn man dadurch die Wurzel nicht ganz, aber immerhin teilweise weg bekommt.

√x3 = √x2 · x = √x2 · √x = x·√x

Innerhalb einer Formel ist das Ergebnis angenehmer zu verwenden, als der ursprüngliche Term. Auch für Zahlen kann man so vorgehen: 

√2000 = √400 · √5 = 20·√5

In einem Term kürzt sich die √5 vielleicht später noch weg, das kann hier wirklich sinnvoll und eine Vereinfachung sein. Hat man die √1000 aber einfach am Ende einer Rechnung stehen, tut man sich diese Umformung natürlich nicht an, sondern gibt die Wurzel einfach in den Taschenrechner ein.

√x7 = √x6 · √x = x3·√x

√250 = √25 · √10 = 5·√10

√x4y3 = √x4 · √y2 · √y = x2y·√y
 


Teilweises Radizieren:

Aus einem möglichst großen Teil zieht man die Wurzel. Der Rest bleibt unter der Wurzel stehen.
Es gibt keine Summen-Regel ...
... und auch keine Differenz-Regel!

Schauen wir uns die Sache an einem Beispiel an:

Ist √4 + √9 das Gleiche wie √4 + 9, also √13 ???

√4 + √9 = 2 + 3 = 5  Aber √13 ist natürlich NICHT 5 !!!

Bei einer Summe oder Differenz darf man also zwei Klammern NICHT zu einer zusammenziehen oder umgekehrt!

√a + √b ≠ √a + b !!!

Noch ein Beispiel:

√x2 + y2 ist also NICHT x + y !!!
 
Summenregel:

√a + √b ≠ √a + b !!!

 
Das Distributivgesetz
Man darf zwei verschiedene Wurzeln, die addiert werden sollen, zwar nicht zu einer Wurzel zusammenziehen, man darf aber natürlich mehrere gleiche Wurzeln addieren oder subtrahieren:

3·√5 + 4·√5 = 7·√5

3 Mehlsäcke und 4 Mehlsäcke ergeben 7 Mehlsäcke, und das gilt natürlich nicht nur für Mehlsäcke, sondern genauso für Weihnachtsmänner, sibirische Tiger und Wurzeln aus 5!

4·√x – 6·√x = -2·√x
13√8 – 12√8 = √8
 
Merke:
Distributivgesetz:
3·√5 + 4·√5 = 7·√5

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