Lektion
   Textaufgaben   
Worum geht es?
Gleichungen und Ungleichungen erhält man, wenn man mit einer Formel etwas berechnen möchte.

In dieser Lektion geht es nun darum, solche Formeln selbst zu erstellen. Wir bekommen ein Problem in Form einer Textaufgabe serviert und suchen nach einer Formel, mit der man das Problem lösen kann. Aus der Formel basteln wir eine Gleichung und lösen sie.

    


In dieser Lektion lernst du
1.Für jedes Problem den richtigen Term zu finden.
2.Aus den Termen eine Gleichung zu basteln.
3.Diese selbst erstellte Gleichung zu lösen.


Eine erste Aufgabe
Felix ist 7 Jahre älter als seine Schwester. In 3 Jahren wird er doppelt so alt sein wie sie. Wie alt sind die beiden?

          
Etwas einfachere Textaufgaben findest du in der gleichen Lektion in Klasse 7.




Übersicht:
Felix: x
Schwester:  x – 7 
Felix in 3 Jahren:  x + 3
Schwester in 3 Jahren:  x – 7 + 3
Gleichung: x + 3 = 2 · ( x – 7 + 3)
Man kann solche Aufgaben entweder durch geschicktes Tüfteln lösen, oder durch ein systematisches Vorgehen. Dieses systematische Vorgehen wird hier gezeigt.

Zunächst einmal überlegt man sich, wonach gefragt wurde. Die gesuchte Größe nennen wir x. Im obigen Beispiel ist x das Alter von Felix.

Dann überlegt man sich Terme für die einzelnen Informationen, die in dem Text vorkommen:

Er ist 7 Jahre älter als seine Schwester also ist diese 7 Jahre jünger als er:    x – 7 

In 3 Jahren ist Felix:    x + 3
Und die Schwester:     x – 7 + 3


Auf diese Art überlegst du dir die richtigen Terme. Zum Schluss suchst du im Text, was herauskommen soll oder was miteinander verglichen wird.

Hier soll nach 3 Jahren das Alter von Felix doppelt so groß sein wie das seiner Schwester.

So erhält man eine Gleichung:

x + 3 = 2·(x – 7 + 3)
Diese Zusammenstellung der nötigen Terme heißt "Text-Term-Tabelle".

Nun muss man die Gleichung nur noch lösen:

x + 3 = 2·(x – 7 + 3)
x + 3 = 2x – 14 + 6   | - 2x
-x + 3 = -8    |  3
-x = -11    | : (-1)
x = 11


Antwort: Felix ist 11, seine Schwester 4 Jahre alt.




          
Eine Sachaufgabe
 wird immer mit einem Antwortsatz 
abgeschlossen.
Aufgabe 2
Paul lädt seine vier Freunde zum Geburtstag ins Kino ein. Er zahlt die Eintrittskarten und kauft noch für alle zusammen eine Packung Popcorn für 3,50 €. Wie viel hat eine Eintrittskarte gekostet, wenn Paul insgesamt 27,50 € ausgegeben hat?



Klar, das Ganze kannst du auch durch geschicktes Tüfteln lösen: Aber mit dieser Methode hier kommt man auch bei den verzwickteren Aufgaben zum Ziel.





Die Text-Term-Tabelle:

Eintrittskarte:  x
5 Eintrittskarten:  5·x
plus Popcorn:  5·x + 3,50

Gleichung:  5·x + 3,50 = 27,50

Diese Gleichung wird nun gelöst:

5 · x + 3,50 = 27,50    | – 3,50
5·x = 24,00    | : 5
x = 4,80


Antwort: Eine Eintrittskarte hat 4,80 € gekostet.
Aufgabe 3
Ein Grundstück soll mit einem 100 m langen Zaun umgeben werden. Würde man die Länge des Grundstückes halbieren und die Breite um 5 m vergrößern, so bräuchte man nur noch 78 m Zaun. Welche Maße besitzt das Grundstück?

  
Du hättest natürlich auch die Breite x nennen können. Am Ende kommt das Gleiche raus.




Lies dir die Aufgabe ruhig zwei oder drei mal durch. Lass dir Zeit! Für solche Aufgaben braucht man Geduld!
Länge:  x
Umfang:  2·Länge + 2·Breite = 100
Breite:  (100 – 2x) : 2 = 50 – x 

Veränderte Länge: x : 2
Veränderte Breite: 50 – x + 5 = 55 – x 

Neuer Umfang: 78

Gleichung:  
2 · (x : 2) + 2 · (55 – x) = 78
x + 110 – 2x = 78
-x + 110 = 78    | – 110
-x = -32    | : (-1)
x = 32


Antwort:  Das Grundstück ist 32 m lang und 18 m breit.
Sachaufgaben für Ungleichungen
Ungleichungen ergeben sich bei Sachaufgaben immer dann, wenn kein fester Betrag genannt wird, der bei der Gleichung herauskommen soll, sondern eine Ober- oder Untergrenze. Es heißt dann: "Wie lang darf das Grundstück höchstens sein?" Oder: "Was hat die Eintrittskarte mindestens gekostet?"

Aufgabe 4
Miriam wiegt 14 kg weniger als Manuel. Paula wiegt halb so viel wie Miriam und Manuel zusammen. Alle drei dürfen gemeinsam in ein Boot einsteigen, das maximal 150 kg trägt. Wie viel kann Manuel höchstens wiegen?

Manuel:  x
Miriam:  x – 14 
Paula: (x + x – 14) : 2 = (2x – 14) : 2 = x – 7

Ungleichung:
x + x – 14 + x – 7 ≤ 150
3x – 21 ≤ 150    | + 21
3x ≤ 171    | : 3
x ≤ 57

Manuel kann höchstens 57 kg wiegen.