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Lektion
Ungleichungen

Worum geht es?

12x + 8 > 68

Das Lösen von Ungleichungen ist kaum schwieriger als das Lösen von Gleichungen. Man benutzt dazu genau die gleiche Technik. Allerdings mit einer Ausnahme.

Ungleichungen ergeben sich wieder, wenn man einen Term (eine Formel) "rückwärts" verwendet. Wenn man also weiß, was herauskommt und sucht, welches x man dazu einsetzen muss.

Hier gibt man aber nicht eine bestimmte, feste Zahl als Lösung an, sondern nur eine Ober- oder Untergrenze. Deshalb < und > statt =.

In dieser Lektion lernst du

1.	Wie man Ungleichungen löst.

2.	Wann sich das Zeichen umkehrt.

3.	Wie man die Lösungsmenge angibt.

Ungleichungen lösen

Man löst Ungleichungen wirklich ganz genauso wie Gleichungen. Also:

1. Klammern auflösen
2. Gleichartige Terme zusammenfassen
3. Alle x auf eine Seite
4. Ungleichung nach x auflösen

Nur, dass statt des Gleichheitszeichens ein < oder ein > steht. Oder natürlich ein ≤ oder ein ≥.

Allerdings mit einer Ausnahme:

Teilt man durch eine negative Zahl,
so dreht sich das Zeichen um!

Bei Ungleichungen
ist das Ergebnis keine feste Zahl sondern eine Ober- oder eine Untergrenze. (< oder >)

Merke:


	Teilt man durch eine negative Zahl, so dreht sich das Zeichen um!

Bei mathepanik.de findest du das Zeichen ≤ für "kleiner oder gleich" und ≥ für "größer oder gleich". Am Computer ist das einfacher als die andere Schreibweise mit richtigem = unter dem <.

Das Zeichen dreht sich ebenfalls um, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert wird. Kommt aber eher selten vor.

Beispiele:

4x + 3 < 15  | – 3
4x < 12  | : 4 Zeichen bleibt!
x < 3

-2x + 6 < 14  | – 6
-2x < 8  | : (-2) Zeichen dreht sich um!
x > -4

Warum ist das so?

Weil man beim Teilen durch eine Minuszahl vom positiven in den negativen Bereich wechselt (z.B. 8 wird zu -4) oder umgekehrt. Und bei diesem Wechsel kehren sich die Verhältnisse um:

4 < 7 aber: -4 > -7
-9 < -5 aber: 9 > 5
-3 < 6 aber: 3 > -6

Alle klar?

Bitte beachte, dass es nur um das Teilen an sich geht. Es spielt keine Rolle, ob das Ergebnis auf der rechten Seite positiv oder negativ war oder danach wird. Es geht einzig darum, durch welche Zahl man teilt.

Aufschreiben der Lösungsmenge

Die Lösungsmenge schreibt man bei Ungleichungen folgendermaßen auf:

L = {x | x < 3}

Weil es ewig viele Zahlen gibt, die kleiner als 3 sind, kann man sie nicht einfach aufzählen. Daher wählt man diese Form.

Übersetzt: "Die Menge aller x für die gilt: x < 3".

Beispiele

(x + 4)² – 2x < x² + 2x
x² + 8x + 16 – 2x < x² + 2x | – x²
6x + 16 < 2x   | – 2x
4x + 16 < 0  | – 16
4x <  -16  | : 4 Zeichen bleibt
x < -4
L = {x | x < -4}

(x + 2)·(2x – 7) ≥ (x + 3)·(x – 3) + x² + 1
2x² – 7x + 4x – 14 ≥ x² – 9 + x² + 1  | – 2x²
-3x – 14 ≥ -8  | + 14
-3x ≥ 6  | : (-3) Zeichen dreht sich um
x ≤ -2
L = {x | x ≤ -2}

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